Cpk berechnen: Formel, Stichprobe und ein Beispiel zum Nachrechnen

Du hast 25 gemessene Teile in einer Excel-Tabelle und sollst einen Cpk liefern. Die Formel findest du in zehn Sekunden. Was du nicht findest: welche Standardabweichung du in den Nenner schreibst — und warum deine CAQ-Software aus denselben Werten eine andere Zahl ausrechnet als dein Tabellenblatt. Genau da liegt die Arbeit, und genau da entscheidet sich am Grenzwert 1,67 auch das i.O. oder n.i.O.

Die Formel, die du wahrscheinlich suchst

Fangen wir mit dem an, weswegen du hier bist. Für ein zweiseitig begrenztes Maß — also ein normales Zeichnungsmaß mit oberem und unterem Grenzwert:

Cp sagt: Wie breit streut der Prozess im Verhältnis zur Toleranz? Cpk sagt zusätzlich: Und wie weit sitzt er aus der Mitte? Deshalb ist Cpk nie größer als Cp. Ein Prozess, der perfekt mittig liegt, hat Cpk = Cp; einer, der am Toleranzrand klebt, hat einen deutlich kleineren Cpk bei unverändertem Cp.

Und jetzt der Satz, den die meisten Rechner-Seiten unterschlagen: Diese Formeln gelten nur, wenn deine Messwerte zumindest näherungsweise normalverteilt sind. Das steht so im Bosch-Heft Nr. 9 „Maschinen- und Prozessfähigkeit" (Kap. 8.3, Ausgabe 11.2019), das steht bei Wikipedia über dem Formelblock („Folgende Formeln gelten nur für normalverteilte Merkmale"), und das steht auch im PIQ-Artikel von Dr. Wolfgang Schultz (TEQ Training & Consulting / Q-DAS, April 2016): „Liegen andere als Normalverteilung vor, sind andere Berechnungsverfahren zu verwenden, die in der Normenreihe (DIN) ISO 22514 angegeben werden." Warum das kein akademischer Vorbehalt ist, steht weiter unten im Abschnitt über die CAQ-Software.

Einseitig begrenzte Merkmale: es gibt kein Cp

Rauheit, Rundlauf, Position, Planlauf — bei diesen Merkmalen existiert nur eine Grenze. Bosch formuliert die Konsequenz unmissverständlich: „Bei einseitig begrenzten Merkmalen existiert nur eine Spezifikationsgrenze (LL oder UL). Eine Toleranz, die als Differenz T = UL − LL definiert ist, existiert in diesem Fall nicht. Damit kann auch kein potentieller Index (C_m, C_p, P_p, C_p−ST oder P_p−ST) angegeben werden." (Kap. 8.1)

Du rechnest also nur den kritischen Index mit der einen vorhandenen Grenze. Wer in die Cp-Spalte trotzdem etwas schreibt, hat sich eine untere Grenze ausgedacht. Auch bei einer natürlichen Grenze — Rauheit kann nicht unter null, eine Nutbreite nicht unter das Werkzeugmaß — wird nicht auf eine gedachte Mitte zentriert. Bosch dazu: Der Prozess ist „möglichst nahe der natürlichen Grenze zu positionieren, so dass der Abstand zur spezifizierten Grenze möglichst groß wird."

Welchen Kennwert du überhaupt liefern musst — Cmk, Cpk oder Ppk, aus wie vielen Teilen und gegen welchen Grenzwert — ist eine eigene Frage. Die beantwortet Cmk vs. Cpk — wann brauchst du welchen Wert?. Hier geht es ausschließlich ums Rechnen.

Das Problem ist nicht die Formel, sondern das Sigma

Der Bruchstrich ist trivial. Zähler und Nenner sind in zwei Minuten getippt. Die eigentliche Arbeit steckt in dem einen Zeichen, über das keine Rechner-Seite redet: σ̂, die geschätzte Streuung. Und „geschätzt" ist wörtlich gemeint — du kennst die wahre Prozessstreuung nicht, du hast 25 Teile und leitest daraus einen Wert ab.

Dafür gibt es nicht ein Verfahren, sondern mehrere. ISO 22514-2 stellt laut Bosch-Heft vier Methoden zur Schätzung der Prozesslage (l = 1 … 4) und fünf Methoden zur Schätzung der Prozessstreuung (d = 1 … 5) bereit; die Kombination bekommt einen Namen der Form M_l,d. Für den Normalverteilungsfall führt Bosch in Kap. 8.3 diese Streuungsschätzer auf:

Die Stichproben-Standardabweichung s_k wird dabei ausdrücklich mit n − 1 im Nenner gebildet — dazu gleich mehr. Der Merksatz für die Tabelle: „innerhalb" beschreibt, was die Maschine kann. „Gesamt" beschreibt, was der Kunde tatsächlich bekommt. Wenn dein Werkzeug über die Serie wandert, sitzt dieser Drift in s_total drin und in R̄/d₂ nicht.

Die Faktoren c₄ und d₂

Zwei der Schätzer brauchen einen Korrekturfaktor, der vom Stichprobenumfang n abhängt. Die Werte aus Tabelle 1 des Bosch-Hefts (S. 32) — das ist die Tabelle, die du beim Nachrechnen suchst:

n ist hier der Umfang einer Stichprobe, nicht die Gesamtzahl der Werte. Bei den üblichen 25 Stichproben à 5 Teilen ist n = 5, also c₄ = 0,940 und d₂ = 2,326.

Rechenbeispiel: 25 Messwerte, fünf Ergebnisse

Jetzt konkret. Drehteil, Zeichnungsmaß Ø 12,00 ±0,05 mm, also LL = 11,95 · UL = 12,05 · T = 0,100 mm. 25 Messwerte, erfasst als 5 Stichproben à 5 Teile über eine Schicht — mit einem leichten Verschleiß-Trend, wie er beim Drehen völlig normal ist.

Hinweis: Dieser Datensatz ist konstruiert, nicht gemessen. Er ist so gebaut, dass der Effekt sichtbar wird, um den es geht — die Zahlen sind aber durchgerechnet und nachprüfbar.

Man sieht den Trend an den Stichproben-Mittelwerten: 11,9920 → 12,0100 mm, das Werkzeug wandert über die Schicht um 18 µm nach oben. Die Streuung innerhalb jeder einzelnen Stichprobe bleibt dabei praktisch konstant bei 8–11 µm.

Die Zwischenwerte

Alles, was jetzt noch passiert: Für jeden der Schätzer wird derselbe Zähler (0,0494 mm) durch 3·σ̂ geteilt. Nur das σ̂ ändert sich.

Ein Datensatz, fünf Cpk

Dieselben 25 Zahlen. Cpk zwischen 1,57 und 1,83, je nachdem, welchen der zulässigen Schätzer du nimmst. Das ist kein Rechenfehler und keine Schlamperei — alle vier Methoden stehen so im Bosch-Heft und in der Norm.

Das Verhältnis s_total / (R̄/d₂) beträgt hier 1,10. Wächst der Drift, wächst dieser Faktor. Bleibt der Prozess über die Serie stabil, nähern sich beide Zahlen an. Man kann diese Lücke also auch als Diagnose lesen: Sie misst, wie sehr der Prozess wandert.

STABW.S oder STABW.N? Der teuerste Klick in Excel

Excel bietet zwei Standardabweichungen an, und sie stehen direkt untereinander in der Funktionsliste:

• STABW.S teilt durch n − 1 — das ist die Standardabweichung einer Stichprobe
• STABW.N teilt durch n — das ist die Standardabweichung einer Grundgesamtheit

Du hast 25 von vielleicht 5.000 Teilen gemessen. Das ist eine Stichprobe, also STABW.S. Bosch schreibt die Stichproben-Standardabweichung in Kap. 8.3 ebenfalls mit n − 1 im Nenner. In älteren Firmenvorlagen findest du noch die alten Namen: STABW war die Stichprobe, STABWN die Grundgesamtheit — die Logik ist dieselbe, nur die Schreibweise hat sich geändert.

Der falsche Klick macht deinen Cpk um den Faktor √(N/(N−1)) schöner. In unserem Beispiel mit N = 25 Werten sind das gut 2 %: 1,61 statt 1,57. Ärgerlich, aber selten entscheidend.

Richtig gefährlich wird es bei Mini-Auswertungen. Bei n = 5 Werten ist √(5/4) = 1,118 — dein Cpk wird um knapp 12 % zu gut. Wer also „schnell mal über die fünf Erstmusterteile" eine Fähigkeit rechnet und dabei die falsche Funktion erwischt, liefert einen Wert, der aus zwei unabhängigen Gründen daneben liegt. Der zweite Grund steht im übernächsten Abschnitt.

Warum die CAQ-Software eine andere Zahl ausspuckt als dein Excel

Jetzt kommt der Teil, der die meisten überrascht. Die Norm definiert Cp und Cpk gar nicht über Sigma. Sie definiert sie über Quantile. Bosch schreibt in Kap. 8.1:

Die eigentlichen Berechnungsvorschriften lauten damit:

Die 6σ-Formel vom Anfang ist also nicht die Definition, sondern eine Vereinfachung für den Sonderfall Normalverteilung. Ist die Verteilung normal, sind beide Wege identisch. Ist sie es nicht, laufen sie auseinander — und zwar genau da, wo es weh tut. Bosch begründet auch, warum: „Wesentlich für die Ermittlung belastbarer Fähigkeitskennwerte ist insbesondere die realitätsnahe Schätzung der Prozessstreubreite anhand der 0,135 %- und 99,865 %-Quantile … Dies bedeutet, dass in erster Linie die Randbereiche (‚Schwänze') der Verteilung maßgeblich sind." Und weiter: Die üblichen kleinen Datensätze — Bosch nennt 50 Werte für Cmk, 125 für Cpk — „enthalten in den Randbereichen meist keine ausreichende Anzahl Werte, um die benötigten Quantile verlässlich zu ermitteln."

Deshalb passt eine gute CAQ-Software erst ein Verteilungsmodell an die Daten an und liest die Quantile aus diesem Modell ab. Das ist die Methode M_2,1, in der Praxis meist Quantil- oder Perzentilmethode genannt. Bosch: Sie „ist auf alle zeitabhängigen Verteilungsmodelle nach [ISO 22514-2] anwendbar und nicht an die zumindest näherungsweise Erfüllung bestimmter Voraussetzungen (wie z. B. Normalverteilung) gebunden. Sie wird deshalb bevorzugt für alle Auswertungen eingesetzt." Der PIQ-Artikel von Q-DAS sagt dasselbe von der anderen Seite: In ISO 22514-2 werde „die Perzentilmethode empfohlen".

Das ist kein Theorie-Gerede

Man könnte das für Normen-Feinschliff halten — reale Fertigungsmaße seien doch normalverteilt. Sind sie oft nicht. Der beste Beleg sind die Rechenbeispiele, die Bosch in Kapitel 12 seines eigenen Hefts durchrechnet:

• Scheibenhöhe, LL 9,98 / UL 10,00 mm, n = 50: ausgewertet mit der Betragsverteilung 2. Art, nicht mit der Glockenkurve. Ergebnis Cm = 2,13 · Cmk = 1,79.
• Rauheit Rz, UL 4,0 µm einseitig, n = 50: ausgewertet mit der logarithmischen Normalverteilung. Cmk = 0,60 — das Kriterium 1,67 ist klar verfehlt. Ein Cp wird gar nicht erst berechnet, weil das Merkmal einseitig begrenzt ist.

Zwei Beispiele, zwei verschiedene Verteilungen, keine davon normal. Und Bosch warnt ausdrücklich, dass die Wahl nicht egal ist: Die Verteilungsfunktionen „können sich in ihren Randbereichen allerdings sehr unterschiedlich verhalten, so dass der geschätzte Streubereich und damit die entsprechenden Kenngrößen stark von der gewählten Verteilung abhängen."

Meine ehrliche Einordnung dazu: Excel ist hervorragend, um zu verstehen, was passiert — deswegen steht das Beispiel oben drin. Für den Nachweis, der zum Kunden geht, nimmst du eine Software, die die Verteilung prüft und anpasst. Und wenn du bei Excel bleibst, dann sag im Bericht dazu, dass du mit Normalverteilungsannahme gerechnet hast. Das ist der Unterschied zwischen einer diskutierbaren und einer angreifbaren Zahl.

Noch ein Hinweis aus derselben Quelle, der in der Praxis viel Streit spart (Kap. 8.3, Anm. 4): „Der Wert der berechneten Fähigkeits- und Leistungskenngröße variiert geringfügig mit der zur Schätzung der Prozesslage und -streuung verwendeten Berechnungsart. Im Sinne transparenter und nachvollziehbarer Ergebnisse ist es deshalb nicht empfehlenswert, eine einmal gewählte Berechnungsart ohne zwingenden Grund zu wechseln."

Die Zahl ist ein Schätzer — was 25 Werte wirklich beweisen

Ein Cpk sieht aus wie eine Messung. Er ist keine. Bosch in Kap. 9.2: „Statistisch gesehen ist ein Fähigkeitskennwert eine Zufallsgröße, die auch bei unverändertem Prozess von Stichprobe zu Stichprobe variieren kann."

Wie stark, lässt sich abschätzen. Die folgende Tabelle ist eine eigene Rechnung mit der Normalverteilungs-Näherung nach Bissell (1990) — kein Normwert und keine Bosch-Zahl. Sie soll die Größenordnung zeigen, nicht eine Abnahmegrenze setzen. Gelesen wird sie so: Du hast aus n Werten einen Cpk von 1,33 errechnet — wo liegt der wahre Wert mit 95 % Sicherheit?

Bei zehn Werten weißt du praktisch nichts: Der wahre Cpk kann 0,79 sein (klar nicht fähig) oder 1,87 (komfortabel). Erst ab etwa 125 Werten wird das Intervall so schmal, dass ein berechneter Wert von 1,33 auch wirklich etwas über den Prozess aussagt. Für unser Rechenbeispiel heißt das: Cpk = 1,57 aus 25 Werten bedeutet „wahrer Cpk irgendwo zwischen 1,18 und 1,96".

Das ist übrigens der statistische Grund hinter einer Regel, die viele für Schikane halten: Weniger Teile heißt nicht weniger, sondern mehr geforderter Cpk. Wenn die untere Vertrauensgrenze 1,33 nicht unterschreiten soll, müsste der berechnete Wert nach derselben Näherung bei 25 Werten rund 1,76 betragen, bei 50 Werten rund 1,61 und bei 125 Werten rund 1,49. Genau solche Staffeln stehen in Kundendokumenten. Wie die konkret aussehen, steht im Artikel zu Cmk vs. Cpk.

Und noch eine Falle bei kleinen Datensätzen, die Bosch in Kap. 9.2 benennt: „Insbesondere die Zuordnung eines Verteilungsmodells wird umso kritischer, je kleiner der Stichprobenumfang wird. … Da diese Größen empfindlich auf Extremwerte reagieren, kann eine geringfügige Änderung weniger Einzelwerte zu einem ‚Umschalten' bei der Auswahl des Verteilungsmodells und entsprechender Änderung des damit verknüpften Fähigkeitskennwerts führen." Zwei Teile anders gemessen, anderes Modell, anderer Cpk.

Was in den Prüfbericht gehört

Nach allem, was oben steht, ist der Schluss zwingend: Eine Zelle mit „Cpk = 1,42" ist kein Nachweis. Sie ist eine Zahl ohne Herkunft. Bosch listet in Kap. 10 die Mindestangaben für den Bericht auf:

Die praktische Übersetzung für den EMPB: Drei Zeilen neben der Kennzahl machen aus einer behaupteten Zahl eine prüfbare — Methode, Anzahl Werte, Erfassungszeitraum. Das kostet dich eine Minute und erspart dir die Rückfrage vom SQE, die zwei Wochen kostet. Wie die Kennwerte im fertigen Bericht stehen, zeigt der ausgefüllte EMPB einer Drehteil-Welle.

Dazu gehört auch die Frage, für welche Maße du überhaupt einen Fähigkeitsnachweis brauchst. In aller Regel nicht für alle, sondern für die besonderen Merkmale — siehe Sondermerkmale CC, SC, Major, Minor.

Wenn du den Cpk nicht schaffst: erst das Messmittel prüfen

Ein Punkt, der in der Hektik gern untergeht. Bosch in Kap. 9.3: „Messeinrichtungen mit zu großer Messunsicherheit und ungeeignete Messverfahren führen zu einer unnötigen Einengung des Toleranzintervalls für den Fertigungsprozess. Ein kleiner C_g-Wert oder ein großer %GRR-Wert verschlechtert die beobachteten Fähigkeits- und Leistungskennwerte."

Im Klartext: Die Streuung deines Messmittels steckt mit in deinen 25 Werten. Wer einen Cpk „nicht schafft", hat manchmal kein Fertigungsproblem, sondern ein Messproblem. Und Bosch ergänzt den Punkt, den jeder kennt, der schon mal am Messplatz gestanden hat: „Weiter ist zu beachten, dass eine fähige Messeinrichtung nichts nützt, wenn die Teile bei der Prüfung z. B. verschmutzt, nicht temperiert oder verspannt sind oder z. B. zu große Formabweichungen besitzen." Ein Teil, das direkt von der Maschine mit 40 °C auf den Messtisch kommt, produziert Streuung, die nichts mit dem Prozess zu tun hat.

Drei Fehler, die ich am häufigsten sehe

Dieser Abschnitt ist Praxis-Erfahrung, keine Norm-Aussage.

1. Cpk aus fünf Erstmusterteilen rechnen und als Fähigkeitsnachweis einreichen. Der Kunde will drei Erstmuster, du hast fünf gemessen, also rechnest du schnell einen Cpk. Aus fünf Werten. Die Vertrauensgrenzen oben zeigen, was das wert ist — und der STABW.N-Fehler wirkt sich bei n = 5 gleich zweistellig aus. Wenn die Teile für eine echte Fähigkeitsstudie fehlen, ist die ehrliche Antwort, das mit dem Kunden zu klären, statt eine Zahl zu liefern, die nichts trägt.

2. Die Methode wechseln, bis die Zahl passt. Wenn s_total 1,57 ergibt und R̄/d₂ 1,73, ist die Versuchung groß, beim Grenzwert 1,67 einfach die zweite Variante zu nehmen. Beide Methoden sind zulässig — das macht es so verführerisch. Nur ist das keine Berechnung mehr, sondern eine Auswahl nach Ergebnis. Bosch hält ausdrücklich dagegen: die einmal gewählte Berechnungsart nicht ohne zwingenden Grund wechseln. Leg die Methode vorher fest, stimm sie mit dem Kunden ab, und behalte sie bei — auch beim nächsten Los, wenn sie mal ungünstiger ausfällt.

3. Ausreißer löschen statt Ursache suchen. Ein Wert liegt weit draußen, raus damit, Cpk sieht gleich viel besser aus. Das Problem: Gerade die Randbereiche bestimmen laut Bosch den Streubereich — der gelöschte Wert ist der informativste im ganzen Datensatz. Wenn beim 14. Teil etwas passiert ist, dann passiert es in der Serie wieder, nur schaut dann niemand hin. Die Zahl wird schöner, der Prozess nicht.

Fazit

Die Cpk-Formel ist der einfachste Teil der ganzen Übung. Toleranz durch sechs Sigma, kritischer Abstand durch drei Sigma, fertig. Wer beim Rechnen Fehler macht, macht sie fast nie im Bruchstrich.

Die Entscheidungen liegen woanders: Welchen der zulässigen Streuungsschätzer nimmst du — und weißt du, dass die Wahl deinen Wert im Beispiel oben zwischen 1,57 und 1,83 verschiebt? Sind deine Daten überhaupt normalverteilt, oder rechnest du eine Formel, die auf deinen Fall nicht passt? Und reichen deine 25 Werte, um die Zahl zu tragen, die du hinschreibst?

Wenn du aus diesem Artikel eine Sache mitnimmst, dann diese: Schreib die Methode und die Anzahl der Werte dazu. Ein Cpk von 1,74 nach M_2,1 aus 125 Werten über vier Wochen ist ein Nachweis. „Cpk 1,74" allein ist eine Behauptung — und der SQE auf der anderen Seite, der das jeden Tag liest, kennt den Unterschied genau.

Primärquelle für alle in diesem Artikel zitierten Formeln, Faktoren und Berichtsanforderungen ist das frei verfügbare Bosch-Heft Nr. 9 „Maschinen- und Prozessfähigkeit" (Ausgabe 11.2019, PDF). Die dort genannten Grenzwerte gelten für den Stand dieser Ausgabe — Bosch verweist selbst darauf, dass intern die Richtlinie CDQ 0301 maßgeblich ist. Die zugrundeliegende Norm ist ISO 22514-2; die aktuelle Ausgabe datiert von Februar 2026 und ersetzt die Fassung von 2017, die deutsche Übernahme DIN ISO 22514-2:2019-07 beruht auf dem 2017er Stand. Alle inhaltlichen Aussagen oben beziehen sich auf diesen 2017er Stand in der Wiedergabe des Bosch-Hefts.